«Χοιροπαιγνίδια» και προβλήματα με ενδιαφέρον

Αυξήθηκαν οι κρίκοι στην αλυσίδα λαθών σε πανελλήνιες εξετάσεις. Κάτι που άρχισε με τις εισαγωγικές στα πρότυπα γυμνάσια και έφθασε στις πανελλαδικές για την Χημεία και την Βιολογία ενώ «κάτι» έγινε ενδιάμεσα και στα Μαθηματικά (όταν η επιτροπή εξετάσεων εισηγείται να γίνουν δεκτές και «άλλες προσεγγίσεις» σε ένα θέμα που δόθηκε στους υποψηφίους αυτό σημαίνει ότι κάτι δεν υπολόγισαν σωστά αυτοί που το έδωσαν). Θα παρακολουθούμε τις εξελίξεις και όταν υπάρχει λόγος θα επανέλθουμε.

Ας τιμήσουμε όμως και την τριήμερη αργία που (κακώς και αδίκως) χορηγείται μόνον σε όσους «εργάζονται πνευματικά»(λες και αυτός που ψάχνει τις βλάβες σε έναν κινητήρα αυτοκινήτου ή χτίζει ένα σπίτι δεν χρησιμοποιεί το μυαλό του). Με ένα παιχνίδι που κλείνει εφέτος ακριβώς 80 χρόνια δημοσιότητας(διότι σε έντυπη μορφή παρουσιάστηκε το 1945 από τον πολυσύνθετο μάγο-εφευρέτη-ταχυδακτυλουργό της τράπουλες κλπ Τζον Σκάρνε ή Orlando Carmelo Scarnecchia(1903-1985)) και ασχολήθηκαν με αυτό έκτοτε πολλοί μαθηματικοί .

Ένα μόνον ζάρι χρειάζεται για να παίξουν δυο το Pig Game. Σκοπός του παιχνιδιού είναι να βρεθεί ο πρώτος παίκτης που ρίχνει ένα ζάρι και φτάνει συνολικά τους 100 πόντους. Σε κάθε γύρο, ένας παίκτης ρίχνει ζάρι όσες φορές επιθυμεί, αθροίζοντας τον αριθμό που φέρνει σε κάθε ζαριά μέχρι να αποφασίσει να τερματίσει τον γύρο και να δώσει το ζάρι στον αντίπαλό του. Π.χ. μπορεί να φέρει διαδοχικά3-4-6 και να πει σταματώ. Τότε αποκομίζει 3+4+6=13 πόντους και δίνει το ζάρι στον αντίπαλο. Αν ωστόσο, ο παίκτης θελήσει να συνεχίσει και φέρει 1 χάνει αμέσως τους 13 πόντους που είχε συγκεντρώσει κατά τη διάρκεια αυτού του γύρου και το ζάρι περνάει στον άλλο παίκτη. Η μεγάλη απόφαση σε οποιοδήποτε σημείο του γύρου είναι αν θα ρίξει ή αν θα σταματήσει (holding).

Έχουν γίνει υπολογισμοί και βρέθηκε ότι κατά μέσον όρο, κερδίζονται τέσσερις πόντοι ανά ζαριά. Η πιθανότητα να έλθει 1 είναι μόνο μία στις έξι(1/6). Επομένως, φαίνεται λογικό να συνεχίσετε να ρίχνετε το ζάρι μέχρι να συγκεντρώσετε 20 πόντους κατά τη διάρκεια ενός γύρου. Αν σταματήσετε τότε, οι πιθανότητες θα είναι υπέρ σας. Ωστόσο, αυτή δεν είναι όλη η ιστορία. Υπάρχουν περιπτώσεις όπου η στρατηγική «κρατήστε στο 20» δεν είναι η βέλτιστη.

Για παράδειγμα όταν ο αντίπαλός έχει σκορ 99 και πιθανότατα θα κερδίσει στον επόμενο γύρο. Αν ο άλλος είχε σκορ 78, κέρδισε όταν ήλθε η σειρά του 20 επιτυγχάνοντας ένα νέο σύνολο 98, σε αυτήν την περίπτωση, η πιθανότητα να κερδίσει το παιχνίδι με μία επιπλέον ζαριά είναι υψηλότερη από την πιθανότητα να κερδίσει αν τερμάτιζε τον γύρο(holding) και επέτρεπε στον άλλο παίκτη να ρίξει.

Oεπιστήμοναw υπολογιστών Τοντ Νέλερ(Todd W. Neller) ανέλυσε λεπτομερώς το παιχνίδι δύο παικτών ψάχνοντας την στρατηγική για πραγματικά βέλτιστο παιχνίδι. Η βασική του γνώση ήταν η κατανόηση ότι το να παίζεις για να μεγιστοποιήσεις τους πόντους για έναν μόνο γύρο δεν είναι το ίδιο με το να παίζεις για να κερδίσεις. Έγραψε ένα πρόγραμμα υπολογιστή για να υπολογίσει όλες τις σχετικές πιθανότητες, χρησιμοποιώντας μια τεχνική γνωστή ως επανάληψη αξίας. Τα αποτελέσματα δείχνουν ότι η στρατηγική «κράτημα στο 20» πλησιάζει στο να αντιπροσωπεύει το βέλτιστο παιχνίδι μόνο όταν και οι δύο παίκτες έχουν χαμηλές βαθμολογίες. Όταν οποιοσδήποτε παίκτης έχει υψηλή βαθμολογία, είναι καλύτερο να προσπαθήσει να κερδίσει κάθε γύρο. Παραδόξως, μεταξύ αυτών των άκρων, υπάρχει μεγάλη μεταβλητότητα στην καλύτερη στρατηγική που πρέπει να ακολουθηθεί σε οποιαδήποτε δεδομένη κατάσταση. Όταν τα αποτελέσματα απεικονίζονται σε τρεις διαστάσεις, με τη βαθμολογία του παίκτη 1 στον έναν άξονα, τη βαθμολογία του παίκτη 2 στον δεύτερο άξονα και το σύνολο των στροφών στον τρίτο άξονα, η επιφάνεια που αντιπροσωπεύει το όριο κύλισης(=κράτημα) έχει μια αξιοσημείωτα περίπλοκη, κυματιστή δομή.

Όπως συμβαίνει και με άλλα παιχνίδια δυο παικτών, αν και οι δύο παίξουν ιδανικά, ο αρχικός παίκτης κερδίζει το 53% των περιπτώσεων. Αν ο πρώτος παίκτης παίξει άριστα και ο δεύτερος χρησιμοποιήσει τη στρατηγική «κράτηση στα 20», ο βέλτιστος παίκτης κερδίζει το 58,7% των περιπτώσεων. Όταν ο παίκτης «κράτηση στα 20» ξεκινήσει πρώτος, αυτός ο παίκτης κερδίζει το 47,8% των περιπτώσεων.

*Λέγεται ότι το παιχνίδι «Pig» ονομάστηκε έτσι κυρίως λόγω της θορυβώδους και χαοτικής φύσης του παιχνιδιού. Σύμφωνα και με τη Wikipedia, πρόκειται για ένα χαοτικό και θορυβώδες παιχνίδι.

Και άλλα προβλήματα;

1. Ο θετικός ακέραιος αριθμός ν που ζητούμε να βρεθεί είναι στο διάστημα (1…20) δηλαδή μεταξύ των 1 και 20. Ο Α προσθέτει όλους τους ακεραίους από το 1 έως και το ν ενώ ο Β προσθέτει όλους από το (ν+1) έως και το 20. Τα δυο αθροίσματα προκύπτουν ίσα μεταξύ τους. Ποια είναι η τιμή του ν; [Μικρή βοήθεια: το άθροισμα ν διαδοχικών ακεραίων θετικών από το 1 έως το ν δίδεται από την σχέση[ν(ν+1)/2].

2. Ένα πολύ ενδιαφέρον πρόβλημα: Ζητούμε εκείνον τον τριψήφιο αριθμό που όταν διαιρεθεί από το γινόμενο των ψηφίων του δίνει ως πηλίκο το ψηφίο των εκατοντάδων.

3. Ένα γυάλινο κυβικό δοχείο με ακμή 50 εκατοστά περιέχει νερό μέχρι το μέσον του. Ένα ορθογώνιο μεταλλικό πρίσμα με τετραγωνική βάση μήκους 25 εκατοστών και ύψος μεγαλύτερο από 50 εκατοστά βυθίζεται με την βάση του αυτού και είναι σε επαφή με τον πυθμένα του δοχείου. Κατά πόσο ανέρχεται η στάθμη του νερού;

Εδώ είναι όμως και οι λύσεις τους

1. Απάντηση

Το άθροισμα των 20 πρώτων ακεραίων θετικών αριθμών δίδεται από την σχέση [20(20+1)/2] και είναι 420/2= 210. Για να είναι ίσα μεταξύ τους τα αθροίσματα των Α και Β θα πρέπει να ίσα με το μισό του 210 δηλαδή ίσα με 105. Άρα για το άθροισμα του Α από το 1 έως το ν θα ισχύει ότι [ν(ν+1)/2] =105. Λύνουμε ως προς ν, προκύπτει μια δευτεροβάθμια εξίσωση ν2 + ν +1 = 0 και ρίζες 14 και -15. Θα κρατήσουμε την θετική ρίζα, αφού εξαρχής ήταν ν>0 άρα ν=14.

2. Απάντηση

Υποθέτουμε ότι ΑΒΓ είναι ο ζητούμενος αριθμός. Αυτός γράφεται και ως εξής: 100Α+10Β+Γ. Με βάση τα δεδομένα του προβλήματος θα ισχύει ότι:
[(100Α+10Β+Γ)/(ΑxBxΓ)] = Α. Αυτή μετασχηματίζεται ως εξής:

(BxΓ) = (100Α+10Β+Γ)/ Α2 (1).

Για τον τριψήφιο αριθμό ΑΒΓ θα πρέπει να ισχύει προφανώς ότι: (10Β+Γ) <100 (2)

γιατί αλλιώς θα είχε ο αριθμός άλλη μια εκατοντάδα και επίσης για τον ζητούμενο τριψήφιο δεν μπορεί κάποιο από τα ψηφία του να είναι 0 διότι τότε το γινόμενό τους θα ήταν ίσο με μηδέν. Άρα ο ζητούμενος τριψήφιος θα είναι τουλάχιστον μεγαλύτερος του 110, άρα ΑΒΓ>110 ή ΒΓ>(110/Α) (3).

Τώρα το τοπίο ανοίγει κάπως περισσότερο. Με την βοήθεια της (2), και της (3) από την (1) μπορούμε να δημιουργήσουμε την εξής ανισότητα:

(110/Α) < ΒΓ < [(100Α + 100)]/Α2 (4).

Τώρα απλά μπορούμε να αρχίσουμε να δοκιμάζουμε τιμές για το Α, από 9 έως και 1 μέχρι να βρούμε έναν τριψήφιο που να εκπληροί το ζητούμενο. Για Α=9 η ανισότητα (4) δίνει 12,2 < ΒΓ < 12,3 που απορρίπτεται διότι δεν υπάρχει ακέραιος στο διάστημα (12,2 … 12,3). Για Α=8 η (4) δίνει 12,5 <ΒΓ < 14,06 άρα πιθανές (ακέραιες)τιμές του ΒΓ είναι οι 13 και 14. Εδώ θέλει προσοχή το πώς εξετάζουμε αν κάνει μια τιμή. Για παράδειγμα ας δούμε αναλυτικά το ΒΓ = 13. Από την (1) παρατηρούμε ότι θα πρέπει να ισχύει: Α2 x ΒΓ = (ζητούμενος αριθμός) οπότε για Α=8 και ΒΓ=13 προκύπτει ότι: Α2 x ΒΓ = (64)(13) = 832. Μια δοκιμή να διαιρέσουμε το 832 με το γινόμενο των ψηφίων του που είναι ίσον με 48 μας δείχνει ότι το πηλίκον δεν είναι καν ακέραιος και γενικότερα δεν είναι αυτός ο ζητούμενος. Το ίδιο ισχύει και για ΒΓ=14. Αν όμως προχωρήσουμε στο Α=7 τότε για το ΒΓ προκύπτει ως πιθανή ακέραια και η τιμή 15 οπότε Α2 x ΒΓ = (49)x(15) = 735. Το γινόμενο των ψηφίων του δίνει 105 και η διαίρεση (735/105) = 7 δηλαδή το ψηφίο των εκατοντάδων. Η αναζήτηση στις άλλες (ακέραιες)τιμές του Α δείχνει ότι μόνον Για Α=7 έχουμε το ζητούμενο αποτέλεσμα.

3. Απάντηση

Ας υποθέσουμε ότι μπαίνει το πρίσμα στο νερό και φθάνει στον πυθμένα(προφανώς εξέχει από την επιφάνεια του νερού). Τότε θα έχει εκτοπίσει νερό με όγκο 25x25x25= 15 625 κυβικά εκατοστά και η στάθμη θα έχει αυξηθεί κατά υ. Αυτό το τμήμα νερού μπορούμε να φανταστούμε πως θα έχει έναν όγκο 50x50xυ μείον τον όγκο του πρίσματος που θα βρίσκεται μέσα σε αυτό το τμήμα, και θα είναι ίσος με 25x25xυ. Άρα 15 625 = 502υ – 252υ και αυτό δίνει τελικά υ = 8,3333 εκατοστά.

Μπορείτε να στείλετε τις απορίες, τις λύσεις και τις επισημάνσεις σας στον Άλκη Γαλδαδά στην διεύθυνση algaldadas@yahoo.gr